
\section{收敛数列的性质}
\label{sec:the-properties-of-convergent-sequence.tex}


\begin{theorem}[极限唯一性]
  如果数列$x_n$收敛，则极限唯一。
\end{theorem}

\begin{proof}[证明]
  反证法，假若有两个数$a1$和$a2$都是数列的极限，假定$a_1<a_2$，则对于任意正数$\epsilon > 0$，数列都能从某项起同时成立着 $|x_n-a_1| < \epsilon$ 和 $|x_n-a_2| < \epsilon$，于是取$\epsilon < (a_2-a_1)/2$，则前述两个不等式因为无交集而产生矛盾。
\end{proof}

\begin{theorem}
  如果数列$x_n$收敛到实数$a$，则对于任意一个小于$a$的实数$x$，数列都能从某项起恒大于$x$，同样对于任意一个大于$a$的实数$y$，数列也能从某项起恒大于$y$。
\end{theorem}

\begin{proof}[证明]
  只要在极限的定义中取 $\epsilon < a-x$即可得前半部分结论，同样再取$\epsilon < y-a$即得后半部分结论。
\end{proof}

\begin{inference}[极限的保号性]
  如果数列收敛到一个正的实数，则数列必从某项起恒保持正号，同样，若收敛到一个负的实数，则必从某项起恒保持负号。
\end{inference}


\begin{theorem}
  如果数列$x_n$和$y_n$分别收敛到$x$和$y$，则数列$x_n+y_n$、$x_n-y_n$、$x_ny_n$、$x_n/y_n$都收敛，而且极限分别是$x+y$、$x-y$、$xy$、$x/y$，在商的情况要求$y \neq 0$。
\end{theorem}

这定理可以推广到任意有限个数列的情形。

\begin{proof}[证明]
  和差的情况是容易证明的，只证明积和商的情况。

  先证明乘积的情形，由
  \begin{equation*}
    |x_ny_n-xy| = |(x_ny_n-xy_n) + (xy_n-xy)| \leqslant |y_n||x_n-x| + |x| |y_n-y|
  \end{equation*}
  任取$\epsilon > 0$，则存在$N>0$，使得$n>N$时同时恒有$|x_n-x|<\epsilon$和$|y_n-y|<\epsilon$\footnote{本来对同一个$\epsilon$，两个数列的$N$是不同的，但是可以取比这两个$N$都大的$N$，这时就同时有那两个不等式。}，另外再由收敛数列的有界性，存在$M>0$，使得$ |y_n| < M$，于是就有 $|x_ny_n-xy| < (M+|x|)\epsilon$，所以$x_ny_n$收敛到$xy.$

  再来证明商的情况，先证明一个结论，如果数列$y_n$收敛到一个非零实数$y$，那么数列$1/y_n$必收敛，且收敛到$1/y$，这是因为
  \begin{equation*}
    \left| \frac{1}{y_n} - \frac{1}{y} \right| = \left| \frac{y_n-y}{yy_n} \right|
  \end{equation*}
  对于任意正实数$\epsilon>0$，上式的分子能从某一个下标$N$开始恒小于$\epsilon$，同时再取另外一个正实数$|y|/2$，数列能从某项起恒有$|y_n|>|y|/2$，于是从某个下标开始，上式就能恒小于$2\epsilon / y^2$，所以数列$1/y_n$收敛到$1/y$，再将$x_n/y_n$视为$x_n$乘以$1/y_n$并利用乘积的结果，便得商的情形。
\end{proof}

\begin{example}
  \label{example:limit-of-n-sqrt-a}
  设实数$a>0$且$a \neq 1$，证明极限$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$.

  我们在 \autoref{example:limit-of-n-sqrt-a-when-a-greater-than-1}中已经证明了$a>1$时的情形，现在假设$0<a<1$，则有
  \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{\frac{1}{a}}} = 1 \]
\end{example}

关于无穷小，还有如此结论
\begin{theorem}
  如果数列$a_n$是无穷小，数列$b_n$有界，则数列$a_nb_n$是无穷小。
\end{theorem}

\begin{proof}[证明]
  由条件，存在正实数$M$，使得$b_n$中的所有项都满足$|b_n|\leqslant M$，所以$|a_nb_n| \leqslant M |a_n|$总是成立的，而$a_n$为无穷小，所以对于无论多么小的正实数$\varepsilon$，数列$a_n$总能从某项起恒满足$|a_n|<\varepsilon/M$，从而$|a_nb_n|<\varepsilon$，于是结论成立。
\end{proof}

\begin{theorem}[Stolz 定理]
  对于两个数列$x_n$和$y_n$，其中$y_n$是一个单调增或者单调减的数列，如果$\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = M$，那么有$\lim \frac{x_n}{y_n} = M$。
\end{theorem}

\begin{inference}
  如果数列$x_n$收敛到$A$，则$(x_1+x_2+\cdots+x_n)/n$也收敛到$A$，反之亦然。
\end{inference}

%%% Local Variables:
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%%% TeX-master: "../../calculus-note"
%%% End:
